1. ปัญหาพื้นที่: จากรูปหลายเหลี่ยมสู่ขีดจำกัด
แม้ว่าพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมสามารถหาได้โดยการแบ่งเป็นสามเหลี่ยม แต่พื้นที่ $S$ ที่มีขอบเขตโค้งต้องใช้วิธีการที่แตกต่างออกไป เราจะนิยาม ปัญหาพื้นที่ ว่าเป็นการหาพื้นที่ที่แท้จริงใต้กราฟฟังก์ชันที่ต่อเนื่องและไม่เป็นลบ $y = f(x)$ ในช่วง $[a, b]$
แบ่งช่วง $[a, b]$ ออกเป็น $n$ ส่วนย่อยที่มีความกว้างเท่ากัน โดยที่ $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ จุดปลายช่วงคือ $x_0, x_1, \dots, x_n$
สร้างสี่เหลี่ยม $n$ รูป โดยใช้ จุดปลายด้านขวา การประมาณค่า ($R_n$) ส่วนสูงของสี่เหลี่ยมลำดับที่ $i$ คือ $f(x_i)$ พื้นที่รวมประมาณได้เป็น $A \approx \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$
เมื่อ $n$ เพิ่มขึ้น ความคลาดเคลื่อน (ช่องว่างระหว่างสี่เหลี่ยมกับเส้นโค้ง) จะหายไป ค่าพื้นที่จริง $A$ ถูกนิยามว่าเป็นค่าขีดจำกัด: $\displaystyle A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$
2. ความสมมาตรระหว่างระยะทางและความเร็ว
ปัญหา ระยะทาง ถามว่า วัตถุจะเคลื่อนที่ได้ไกลแค่ไหน หากความเร็วเปลี่ยนแปลงตามเวลา? หากความเร็วคงที่ จะได้ $distance = velocity \times time$ แต่หากเปลี่ยนแปลง เราจะพิจารณาความเร็วเป็นค่าคงที่ในช่วงเวลาสั้น ๆ อย่างมาก $\Delta t$
ยิ่งเราวัดความเร็วบ่อยเท่าไหร่ ค่าประมาณก็จะแม่นยำขึ้นเท่านั้น ดังนั้นจึงเป็นเหตุผลที่สมเหตุสมผลว่า ระยะทางจริง $d$ ที่เคลื่อนที่ไปได้ คือค่าขีดจำกัดของสมการเหล่านี้
ตัวอย่างที่แสดงการแก้ปัญหา: $y = x^2$ บนช่วง $[0, 1]$ (ตัวอย่างที่ 1)
เพื่อประมาณพื้นที่ใต้พาราโบล่า $y = x^2$ จาก 0 ถึง 1 โดยใช้จุดปลายด้านขวา พร้อม $n=4$:
- $\Delta x = (1-0)/4 = 0.25$
- $R_4 = 0.25 [f(0.25) + f(0.5) + f(0.75) + f(1)]$
- $R_4 = 0.25 [0.0625 + 0.25 + 0.5625 + 1] = 0.46875$
การใช้จุดปลายด้านซ้าย ($L_4$) จะได้ค่าประมาณ $0.21875$ พื้นที่จริงถูก “จับ” อยู่ระหว่างช่วงค่านี้: $0.21875 < A < 0.46875$